Question

14．设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，
∴x＞0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（2）=0，
∴g（2）=$\frac{f（2）}{2}$=0，
当0＜x＜2，
g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，
当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，
∵f（x）是偶函数，
∴当-2＜x＜0，f（x）＜0，
故不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2），
故选：B．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．