Question

20．不等式$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a的解集是[-4，0]．则a的取值范围是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 令y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$，即（x+2）²+y²=4（y≥0），它表示一个以C（-2，0）为圆心、半径等于2的半圆，则由题意可得，当x∈[-4，0]时，半圆y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$ 不能在直线y=$\frac{4}{3}$x+1-a的上方．当直线l和半圆相切时，求得a的值，数形结合求得a的范围．

解答 解：不等式$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a的解集是[-4，0]，
令y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$，即：（x+2）²+y²=4（y≥0），它表示一个以C（-2，0）为圆心、
半径等于2的半圆，如图所示：
则由题意可得，当x∈[-4，0]时，半圆y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$ 不能在直线y=$\frac{4}{3}$x+1-a的上方．
当直线l和半圆相切时，
根据圆心C（-2，0）到直线l：y=$\frac{4}{3}$x+1-a的距离等于半径，
可得$\frac{|-\frac{8}{3}-0+1-a|}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}$=2，求得a=$\frac{5}{3}$，或a=-5．
由于直线l在y轴上的截距为1-a，数形结合可得，应取a=-5．
故当半圆y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$ 在直线y=$\frac{4}{3}$x+1-a的下方时，
应把此切线l向上平移，即直线l在y轴上的截距应该变大，即1-a变大，故有a≤-5，
故答案为：（-∞，-5]．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．