Question

12．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂₂=37，S₂₂=352．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•2${\;}^{{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的求和公式即可求出a₁，再求出公差d，即可得到数列{a_n}的通项公式，
（2）根据错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵a₂₂=37，S₂₂=352，
∴S₂₂=$\frac{{（a}_{1}+{a}_{22}）×22}{2}$=352，
∴a₁=-5，
∴d=$\frac{{a}_{22}-{a}_{1}}{22-1}$=2
∴a_n=-5+2（n-1）=2n-7，
（2）由（1）可知b_n=a_n•2${\;}^{{a}_{n+1}}$=（2n-7）2^2n-5，
∴T_n=-5×2^-3+（-3）×2^-1+（-1）×2¹+…+（2n-7）2^2n-5，
∴4T_n=-5×2^-1+（-3）×2¹+（-1）×2³+…+（2n-9）2^2n-5++…+（2n-7）2^2n-3，
∴-3T_n=-$\frac{5}{8}$+2×2^-1+2×2¹+2×2³+…+2×2^2n-5-（2n-7）2^2n-3=-$\frac{5}{8}$+2⁰+2²+2⁴+…+2^2n-4-（2n-7）2^2n-3
=-$\frac{5}{8}$+$\frac{1-{4}^{n-1}}{1-4}$-（2n-7）2^2n-3=-$\frac{5}{8}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$•2^2n-2-（2n-7）2^2n-3=-$\frac{23}{24}$+（$\frac{23}{6}$-n）•2^2n-2，
∴T_n=$\frac{23}{72}$+（$\frac{n}{3}$-$\frac{23}{18}$）•2^2n-2．

点评 本题考查了等差数列的求和公式和错位相减法求和，属于中档题．