Question

下列命题：
①若

a

与

b

共线，则存在唯一的实数λ，使

b

=λ

a

；
②空间中，向量

a

、

b

、

c

共面，则它们所在直线也共面；
③P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC垂心．
④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
上述命题中正确的命题是

③④

．

Answer 1

分析：应用平行向量与共线向量，向量的共线定理等知识点，根据向量共线的定义和性质对①②④命题逐一进行判断，对于③，利用线面垂直的判定和性质定理进行证明，即可得到答案．

解答：解：①中的

a

≠

0

这一条件缺少，于是①错．
对于②，因为向量可以任意平移，可知②错；
③当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PO⊥底面ABC，则PO⊥BC，进而BC⊥平面PAO，即AO⊥BC，
同理可证BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心，即③对；
④中A、B、C、M四点共面．
等式

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

两边同加

MO

，
则

1

3

（

MO

+

OA

）+

1

3

（

MO

+

OB

）+

1

3

（

MO

+

OC

）=

0

，
即

MA

+

MB

+

MC

=

0

，

MA

=-（

MB

+

MC

）则

MA

、

MB

、

MC

共面，
又M是三个有向线段的公共点，
则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
故④是真命题．
故答案为：③④

点评：本题考查命题的真假判断与应用．在解答向量问题时，向量共线（平行）是最常见的情况之一，我们一定要注意向量平行分为三种情况：①两个非零向量同向；②两个非零向量反向；③零向量与任何一个向量都共线（平行）．其中第③种情况，最容易被忽视．