Question

【题目】在三棱锥A﹣BCD中，点A在BD上的射影为O，∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2 ，AC= ．

（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）若E是AC的中点，求直线BE和平面BCD所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，由点A在BD上的射影为O，可得

AO⊥BD，

由∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=2，AD=DC=2 ，可得

BD= =4，AO= = = ，

同理可得CO= ，由AO2+CO2=AC2，可得AO⊥CO，

又BD，CO平面BCD，且BD，CO为相交二直线，

可得AO⊥平面BCD；

（2）解：取CO的中点H，连接EH，

由中位线定理可得EH∥AO，EH= AO，

由AO⊥平面BCD，可得EH⊥平面BCD，

即有∠EBH为直线BE和平面BCD所成角．

又EH= ，BE= = = ，

BH= = = ，

可得tan∠EBH= = ．

即有直线BE和平面BCD所成角的正切值为 ．

【解析】（1）连接OC，由题意可得AO⊥BD，由勾股定理的逆定理可得AO⊥CO，运用线面垂直的判定定理，即可得证；（2）取CO的中点H，连接EH，运用中位线定理和线面垂直的性质定理，可得EH⊥平面BCD，即有∠EBH为直线BE和平面BCD所成角．运用正切函数的定义，计算即可得到所求值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．