Question

如图，在△ABC中，已知点D是BC边的三等分点且BD=

1

3

BC，过点D的直线分别交直线AB，AC于E，F两点，若

AE

=λ

AB

（λ＞0），

AF

=μ

AC

（μ＞0），则λ+2μ的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：导数的综合应用,平面向量及应用

分析：由已知条件，

EB

=

ED

+

DB

=(1-λ)

AB

，而

ED

=-kλ

AB

+kμ

AC

，

DB

=

1

3

AB

-

1

3

AC

，所以得到(

1

3

-kλ)

AB

+(kμ-

1

3

)

AC

=(1-λ)

AB

．从而得到

1 3 -kλ=1-λ kμ- 1 3 =0

，消去k并求得μ=

λ

3λ-2

，所以λ+2μ=λ+

2λ

3λ-2

，通过求导求关于λ的函数λ+

2λ

3λ-2

的最小值即可．

解答： 解：

EB

=

ED

+

DB

=(1-λ)

AB

；
E，D，F三点共线，∴存在实数k，使

ED

=k

EF

=k(

AF

-

AE

)=-kλ

AB

+kμ

AC

，

DB

=

1

3

CB

=

1

3

AB

-

1

3

AC

；
∴(

1

3

-kλ)

AB

+(kμ-

1

3

)

AC

=(1-λ)

AB

；
∴

1 3 -kλ=1-λ ① kμ- 1 3 =0 ②

；
由②得，k=

1

3μ

带入①得，

1

3

-

λ

3μ

=1-λ；
∴μ=

λ

3λ-2

；
∴λ+2μ=λ+

2λ

3λ-2

；
设f（λ）=λ+

2λ

3λ-2

，λ＞0；
∴f′(λ)=

9λ2-12λ

(3λ-2)2

，令f′（λ）=0得，λ=0，或

4

3

；
∴λ∈(0，

4

3

)时，f′（λ）＜0，λ∈(

4

3

，+∞)时，f′（λ）＞0；
∴λ=

4

3

时，f（λ）取极小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值为

8

3

；
即λ+2μ的最小值为

8

3

．
故答案为：

8

3

．

点评：考查向量的加法、减法运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，通过求导求函数的最小值的方法及过程．