Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且经过两点(

2

，1)，(2，

3

3

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（-1，0）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，在x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的方程为Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，且A≠B），利用椭圆经过两点(

2

，1)，(2，

3

3

)，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，0），当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1），椭圆与直线方程联立消元．根据韦达定理求得交点横坐标的和与积，根据题设中的向量的关系求得x₀，进而得出M的坐标；当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程为x=-1，求得A和B的坐标，即可求得x₀，综合可得答案．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，且A≠B），则
∵椭圆经过两点(

2

，1)，(2，

3

3

)，
∴

2A+B=1 4A+ B 3 =1

，
解得A=

1

5

，B=

3

5

，
∴椭圆C的方程为

x2

5

+

y2

5 3

=1；
（2）设A(x1，y1

)

_ 
①直线l的斜率存在时，设l：y=k（x+1）
代入椭圆方程，消去y，可得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0
则x1+x2=-

6k2 1+3k2

_ 
假设存在点M（x₀，0），
则

MA

•

MB

=(x1-x0，y1)•(x2-x0，y2)=(1+k2)x1x2+(k2-x0)(x1+x2)+k2+x02
=

k2(3x02+6x0-1)+x02-5

3k2+1

若

MA

•

MB

为定值，则

3x2+6x0-1

3

=

x02-5

1

，得x0=-

7

3

且

MA

•

MB

=

4

9

；
②直线l斜率不存在时，直线l：x=-1，则A(-1，-

2 3

3

)

_ 
当M(-

7

3

，0)时，

MA

•

MB

=

4

9

．
综上存在点M(-

7

3

，0)．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力．