Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，（an﹣3）an+1﹣an+4=0（n∈N*）．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：令n=1，﹣2a2+3=0，a2= ，

令n=2，﹣ a3﹣ +4=0，a3= ，

令n=3，﹣ a4﹣ +4=0，a4=

（2）解：猜想an= （n∈N*）．

证明：当n=1时，a1=1= ，所以an= 成立，

假设当n=k时，an= 成立，即ak= ，

则（ak﹣3）ak+1﹣ak+4=0，即（ ﹣3）ak+1﹣ +4=0，

所以 ak+1= ，即ak+1= = ，

所以当n=k+1时，结论an= 成立．

综上，对任意的n∈N*，an= 成立

【解析】（1）由数列{an}的递推公式依次求出a2 ， a3 ， a4；（2）根据a2 ， a3 ， a4值的结构特点猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
【考点精析】关于本题考查的数列的定义和表示和数学归纳法的定义，需要了解数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案．