Question

定义域均为R的奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=10^x．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的反函数；
（Ⅲ）证明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）；
*（Ⅳ）试用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10^x，再根据函数的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10^-x=-f（x）+g（x），进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=

1

2

（10^x-

1

10x

），即可得到：10^x=y±

y2+1

，再根据指数函数的性质可得：x=lg（y+

y2+1

），进而得到f（x）的反函数．
（Ⅲ）由（I）可得：2g（

x1+x2

2

）与g（x₁）+g（x₂）的表达式，再利用基本不等式把g（x₁）+g（x₂）进行化简整理即可得到答案．
（Ⅳ）由（I）可得f（x₁）、f（x₂）、g（x₁）、g（x₂）、f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）的表达式与结构特征，进而得到f（x₁-x₂）=f（x₁）g（x₂）-g（x₁）f（x₂），g（x₁+x₂）=g（x₁）g（x₂）-f（x₁）f（x₂）．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）+g（x）=10^x ①，
∴f（-x）+g（-x）=10^-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10^-x ②，
由①，②解得：f（x）=

1

2

（10^x-

1

10x

），g（x）=

1

2

（10^x+

1

10x

）．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=

1

2

（10^x-

1

10x

），
∴（10^x）²-2y?10^x-1=0，解得10^x=y±

y2+1

，
∵10^x＞0，
∴10^x=y+

y2+1

，
∴x=lg（y+

y2+1

），
∴f（x）的反函数为f^-1（x）=lg（x+

x2+1

）．x∈R．
（Ⅲ）证明：由（I）可得：2g（

x1+x2

2

）=10

x1+x2

2

+

1

10 x1+x2 2

；
并且得到g（x₁）+g（x₂）=

1

2

（10x1+

1

10x1

）+

1

2

（10x2+

1

10x2

）=

1

2

（10x1+10x2）+

1

2

（

1

10x1

+

1

10x2

）
≥

1

2

•2

10x1•10x2

+

1

2

•2 

1 10x1•10x2

=10

x1+x2

2

+

1

10 x1+x2 2

=2g（

x1+x2

2

）；
∴g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）．
（Ⅳ）由（I）可得：f（x₁-x₂）=f（x₁）g（x₂）-g（x₁）f（x₂），g（x₁+x₂）=g（x₁）g（x₂）-f（x₁）f（x₂）．

点评：本题主要考查函数的性质，如函数的解析式，奇偶性，单调性等性质，以及考查反函数等常规问题的处理方法，第（Ⅲ）问，第（Ⅳ）问把函数与不等式的证明，函数与指对式的化简变形结合起来，此题综合性较强，属于难题，考查学生综合应用知识的能力．