Question

定义域均为R的奇函数f （x）与偶函数g （x）满足f （x）+g （x）=10^x．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）证明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）；
（3）试用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：f（x）+g（x）=10^x，再根据函数的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10^-x=-f（x）+g（x），进而结合两个式子求出两个函数的解析式．
（2）（法一）由（1）可得g（x₁）+g（x₂）的表达式，再利用基本不等式把g（x₁）+g（x₂）进行化简整理即可得到答案．
（法二））要证明原不等式成立，只要证g（x₁）+g（x₂）-2g（

x1+x2

2

）≥0即可
（3）由（1）可得f（x₁）、f（x₂）、g（x₁）、g（x₂）、f（x₁-x₂）与g（x₁+x₂）的表达式与结构特征，进而可求

解答：解：（1）∵f（x）+g（x）=10^x ①
∴f（-x）+g（-x）=10^-x，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∴-f（x）+g（x）=10^-x ②
由①，②解得f（x）=

1

2

（10^x-

1

10x

），g（x）=

1

2

（10^x+

1

10x

）．
（2）解法一：g(x1)+g(x2)=

1

2

(10x1+

1

10x1

)+

1

2

(10x2+

1

10x2

)
=

1

2

(10x1+10x2)+

1

2

(

1

10x1

+

1

10x2

)≥

1

2

•2

10x1×10x2

+

1

2

×2

1 10x1 • 1 10x2

=10

x1+x2

2

+

1

10 x1+x2 2

=2g(

x1+x2

2

)
（法二）∵g（x₁）+g（x₂）-2g（

x1+x2

2

）=

1

2

(10x1+10x2)+

1

2

(

1

10x1

+

1

10x2

)-（10

x1+x2

2

+

1

10 x1+x2 2

）
=

(10x1+x2+1)•(10x1+10x2)

2•10x1+x2

-

10x1+10x2+1

10 x1+x2 2

=

(10x1+x2+1)(10x1+10x2-2•10 x1+x2 2 )

2•10xx1+x2

≥

(10x1+x2+1)(2 10x1•10x2 -2•10 x1+x2 2 )

2•10x1+x2

=0
∴g（x₁）+g（x₂）≥2g（

x1+x2

2

）
（3））∵f（x）=

1

2

（10^x-

1

10x

），g（x）=

1

2

（10^x+

1

10x

）．
∴f（x₁-x₂）=

1

2

(10x1-x2-

1

10x1-x2

)
=

1

2

( 

10x1

10x2

 -

10x2

10x1

)
=

1

4

(10x1+x2+

10x1

10x2

-

10x2

10x1

-

1

10x1+x2

)-

1

4

(10x1+x2-

10x1

10x2

+

10x2

10x1

-

1

10x1+x2

)
=

1

4

(10x1-

1

10x1

)(10x2+

1

10x2

)-

1

4

(10x1+

1

10x1

)(10x2-

1

10x2

)
=f（x₁）g（x₂）-g（x₁）f（x₂）
同理可得，g（x₁+x₂）=

1

2

(10x1+ x2)+

1

2

•

1

10x1+x2

=g（x₁）g（x₂）-f（x₁）f（x₂）．

点评：本题主要考查函数的性质：函数的解析式，奇偶性，单调性等性质，函数与指对式的化简变形结合起来，此题综合性较强，属于难题，考查学生综合应用知识的能力．