Question

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图所示是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为

2

3

，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m，k（m，k∈N^*）的数学公式表示上述结论，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为Cnm，由此即可算出第20行中从左到右的第4个数的大小；
（2）由（1）的结论，建立关于n的方程并化简整理，解之可得n=34；
（3）根据题意，所求结论可表示为C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）．再由组合数的性质：C_m^m+C_m^m-1=C_m+1^m，代入等式的左边进行化简整理，即可得到该等式成立．

解答：解：（1）由题意，得第n行的从左到右第m+1个数为Cnm，（n∈N，m∈N且m≤n）
∴第20行中从左到右的第4个数为C₂₀³=

20×19×18

3×2×1

=1140；
（2）由题意，得
∵第n行中从左到右第14与第15个数的比为

2

3

，
∴

Cn13

Cn14

=

2

3

，可得

n! 13!•(n-13)!

n! 14!(n-14)!

=

2

3

，
化简得

14

n-13

=

2

3

，解之得n=34；
（3）结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．
用公式表示为：C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）
证明：左式=C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=C_m^m+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+1^m+C_m+1^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=…=C_m+k-2^m+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m=右式
即等式C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）成立．

点评：本题给出三角形数阵，求它的指定项和在m斜列中包含的等式．着重考查了组合数的性质、运用组合数解决实际应用问题、方程与恒等式的处理与证明等知识，属于中档题．