Question

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关．图是一个7阶的杨辉三角．
给出下列五个命题：
①记第i（i∈N^*）行中从左到右的第j（j∈N^*）个数为a_ij，则数列{a_ij}的通项公式为C_i^j；
②第k行各数的和是2^k；
③n阶杨辉三角中共有

(n+1)2

2

个数；
④n阶杨辉三角的所有数的和是2ⁿ⁺¹-1．
其中正确命题的序号为

②④

．

Answer 1

分析：据第i行各个数是（a+b）ⁱ的展开式的二项式系数，故可求数列{a_ij}的通项公式为C_i^j-1；
据各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，（a+b）ⁿ的二项式系数和为2ⁿ得解．第k行各数的和是2^k；第k行共有k+1个数，可求n阶杨辉三角中数的个数；

解答：解：据第i行各个数是（a+b）ⁱ的展开式的二项式系数，故有数列{a_ij}的通项公式为C_j-1ⁱ，故①错；各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，第k行各数的和是2^k．，故②正确；第k行共有k+1个数，从而n阶杨辉三角中共有1+2++(n+1)=

(n+1)(n+2)

2

个数，故③错；n阶杨辉三角的所有数的和是1+2+2²+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，故④正确
故答案为：②④

点评：本题考查二项式系数、二项式系数和公式、二项式系数性质等．属于基础题