精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知点P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)和圆x2+y2=a2+b2
的一个交点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,∠PF2F1=2∠PF1F2,则该双曲线的离心率为(  )
分析:根据双曲线基本量的平方关系,可得圆x2+y2=a2+b2的半径为c,经过F1和F2.由此可得Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°且∠PF2F1=60°,得到|PF1|=
3
c
且|PF2|=c,再用双曲线的定义及离心率公式即可算出该双曲线的离心率.
解答:解:∵双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1

∴双曲线的焦点坐标为F1(-c,0)、F2(c,0),其中c=
a2+b2

∵圆方程为x2+y2=a2+b2,即x2+y2=c2
∴该半径等于c,且圆经过F1和F2
∵点P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
与圆x2+y2=a2+b2的交点,
∴△PF1F2中,|OP|=c=
1
2
|F1F2|,可得∠F1PF2=90°
∵∠PF2F1=2∠PF1F2,且∠PF2F1+∠PF1F2=90°
∴∠PF1F2=30°,且∠PF2F1=60°,由此可得|PF1|=
3
c
,|PF2|=c
根据双曲线定义,可得2a=|PF1|-|PF2|=(
3
-1)c
∴双曲线的离心率e=
2c
2a
=
2
3
-1
=
3
+1

故选:D
点评:本题给出双曲线与圆相交,在已知焦点三角形中的角度关系下求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单性质的知识,属于基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知点F是双曲线x2-
y2
2
=1
的一个焦点,过点F作直线l交双曲线于两点P、Q,若|PQ|=4,则这样的直线l有且仅有(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•扬州三模)已知点P是双曲线x2-y2=2上的点,该点关于实轴的对称点为Q,则
OP
OQ
=
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P在双曲线x2-y2=1的右支上,且点P到直线y=x的距离为,则点P的坐标是_________________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年江苏省扬州市高考数学三模试卷(解析版) 题型:解答题

已知点P是双曲线x2-y2=2上的点,该点关于实轴的对称点为Q,则=   

查看答案和解析>>

同步练习册答案