Question

在数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，等式a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=（n•2ⁿ-2ⁿ+1）b成立，其中常数b≠0．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求证：数列{2^a_n}为等比数列；
（Ⅲ）如果关于n的不等式

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞

c

a1

（c∈R）的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，求b和c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知等式，写出a1=(21-21+1)b，a1+2a2=(2•22-22+1)b，由此可求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）由已知等式，再写一式，两式相减，即可证明数列{2^a_n}为等比数列；
（Ⅲ）不等式

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞

c

a1

化简为

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

，分类讨论，结合函数的单调性，即可求b和c的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：因为a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)b，
所以a1=(21-21+1)b，a1+2a2=(2•22-22+1)b，
解得a₁=b，a₂=2b．…（3分）
（Ⅱ）证明：当n≥2时，由a1+2a2+22a3+…+2n-1an=(n•2n-2n+1)b，①
得a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=[(n-1)•2n-1-2n-1+1]b，②
将①，②两式相减，得 2n-1an=(n•2n-2n+1)b-[(n-1)•2n-1-2n-1+1]b，
化简，得a_n=nb，其中n≥2．…（5分）
因为a₁=b，所以a_n=nb，其中n∈N^*．…（6分）
因为

2an

2an-1

=2an-an-1=2b(n≥2)为常数，
所以数列{2an}为等比数列．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得a2n=2nb，…（9分）
所以

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

=

1

2b

+

1

4b

+…+

1

2nb

=

1

b

×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

b

(1-

1

2n

)，…（11分）
又因为

1

a1

=

1

b

，
所以不等式

1

a2

+

1

a4

+

1

a8

+…+

1

a2n

＞

c

a1

化简为

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

，
当b＞0时，考察不等式

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

的解，
由题意，知不等式1-

1

2n

＞c的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
因为函数y=1-(

1

2

)x在R上单调递增，所以只要求 1-

1

23

＞c且1-

1

22

≤c即可，
解得

3

4

≤c＜

7

8

；                                        …（13分）
当b＜0时，考察不等式

1

b

(1-

1

2n

)＞

c

b

的解，
由题意，要求不等式1-

1

2n

＜c的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，
因为1-

1

22

＜1-

1

23

，
所以如果n=3时不等式成立，那么n=2时不等式也成立，
这与题意不符，舍去．
所以b＞0，

3

4

≤c＜

7

8

．…（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等比数列的证明，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．