设函数(1)当
时,求
的最大值;(2)令
,(
),其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立,求实数
的取值范围;(3)当
,
,方程
有唯一实数解,求正数
的值.
(1)的极大值为
,此即为最大值;(2)
≥
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)依题意,知的定义域为(0,+∞),当
时,
,
(2′)令
=0, 解得
.(∵
)
因为当时,
,此时
单调递增;当
时,
,此时
单调递减。所以
的极大值为
,此即为最大值 4分
(2),
,则有
≤
,在
上恒成立,
所以≥
,
(8′)当
时,
取得最大值
,所以
≥
8分
(3)因为方程有唯一实数解,所以
有唯一实数解,
设,则
.令
,
.
因为,
,所以
(舍去),
,
当时,
,
在(0,
)上单调递减,当
时,
,
在(
,+∞)单调递增 当
时,
=0,
取最小值
则
既
所以
,因为
,所以
(*)设函数
,因为当
时,
是增函数,所以
至多有一解.因为
,所以方程(*)的解为
,即
,解得
. 12分
考点:导数的几何意义,直线方程,利用导数研究函数的极值(最值),不等式恒成立问题。
点评:典型题,切线的斜率,等于在切点的导函数值。利用导数研究函数的极值,一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值”,利用“表解法”,清晰易懂。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,通过研究函数的最值确定参数的范围。
科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分14分)设函数(1)当
时,求
的最大值;(2)令
,(0
≤3),其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立,求实数
的取值范围; (3)当
,
,方程
有唯一实数解,求正数
的值。
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川达州普通高中高三第一次诊断检测理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设函数
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若当时
恒成立,求实数
的取值范围。
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科目:高中数学 来源:2013届广东省汕头市高二下学期期中文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(14分)设函数
(1)当时,求
的最大值;
(2)令,以其图象上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,方程
有唯一实数解,求正数
的值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年天津市高三第三次月考理科数学 题型:解答题
设函数
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求实数
的取值范围;
(3)设函数,若在
上至少存在一点
使
成立,求实数
的取值范围。
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科目:高中数学 来源:2010-2011年河北省高二下学期期中考试理科数学 题型:解答题
(本小题满分12分)
设函数
(1)当时,求
的最大值;
(2)令,(
),其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当,
,方程
有唯一实数解,求正数
的值.
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