Question

（本题满分14分）设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围； （3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  ≥ （Ⅲ）

解析:

（1）依题意，知的定义域为（0，+∞）当时，，

       （2′）

       令=0，解得.（∵）因为有唯一解，所以

       当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。

       所以的极大值为，此即为最大值。（5′）

   （2），，则有≤，在上恒成立，

       所以≥，（8′）

       当时，取得最大值，所以≥（10′）

   （3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

       设，则.    令，得.

       因为，，所以（舍去），，

       当时，，在（0，）上单调递减，

       当时，，在（，+∞）单调递增

       当时，=0，取最小值.（12′）

       则既

       所以，因为，所以（*）

       设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解。

       因为，所以方程（*）的解为，即，解得.（14′）