Question

若函数f（x）与g（x）=2^-x互为反函数，则f（3+2x-x²）的单调递增区间是

[1，3）

．

Answer 1

分析：先求出g（x）的反函数f（x），然后可得f（3+2x-x²）的定义域，利用复合函数单调性的判断方法可求得函数在定义域内的单调区间．

解答：解：令y=2^-x，则-x=log₂y，∴x=-log₂y，
∴g（x）的反函数：f（x）=-log₂x，
则f（3+2x-x²）=-log2(3+2x-x2)，
由3+2x-x²＞0，得-1＜x＜3，
∴f（3+2x-x²）的定义域为（-1，3），
f（3+2x-x²）可看作由y=-log₂t和t=3+2x-x²复合而成的，
∵y=-log₂t单调递减，t=3+2x-x²在（-1，1]上递增，在[1，3）上递减，
∴f（3+2x-x²）在（-1，1]上递减，在[1，3）上递增，
∴f（3+2x-x²）的单调递增区间是[1，3）．
故答案为：[1，3）．

点评：本题考查反函数概念、复合函数单调性的判断，准确理解“同增异减”四字含义是判断复合函数单调性的关键，注意单调区间必为定义域的子集．