Question

已知函数m(x)=log4(4x+1)，n(x)=kx（k∈R）．
（1）当x＞0时，F（x）=m（x），且F（x）为R上的奇函数．求x＜0时，F（x）的表达式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）为偶函数，求k的值；
（3）对（2）中的函数f（x），设g(x)=log4(2x-1-

4

3

a)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用x＞0时，F（x）=log4(4x+1)，F（x）为R上的奇函数，可求得x＜0时，F（x）的表达式；
（2）利用偶函数的定义f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，即可求得k的值；
（3）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点?方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(2x-1-

4

3

a)有且只有一个实根?2^x+

1

2x

=2^x-1-

4

3

a有且只有一个实根，令t=2^x＞0，则方程

1

2

t²+

4

3

at+1=0有且只有一个正根，利用△=0即可求得a的值．

解答：解：（1）∵x＞0时，F（x）=m（x）=log4(4x+1)，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴F（-x）=log4(4-x+1)，又F（x）为R上的奇函数，
∴-F（x）=log4(4-x+1)，即F（x）=-log4(4-x+1)…（3分）
（2）∵函数f（x）=m（x）+n（x）=log4(4x+1)+kx为偶函数，
∴f（-x）=f（x）即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，…（5分）
而log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-

1

2

…（7分）
（3）∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
∴方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(2x-1-

4

3

a)有且只有一个实根，…（8分）
化简得：方程2^x+

1

2x

=2^x-1-

4

3

a有且只有一个实根，…（9分）
令t=2^x＞0，则方程

1

2

t²+

4

3

at+1=0有且只有一个正根，
①△=0⇒a=-

3 2

4

，
②若一个正根和一个负根，不满足题意…（11分）
所以实数a的取值范围为{a|a=-

3 2

4

}…（12分）

点评：本题主要考查了偶函数的性质，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查了化归与方程的思想的综合运用，属于难题．