Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为函数f（x）的图象上任意不同两点，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的定义域，求出导函数f′（x），根据导函数的表达式，对m和x进行分类讨论，分别研究导函数f′（x）＞0的取值情况，从而得到f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据斜率公式，得到

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-3恒成立，构造函数g（x）=f（x）+3x，则将问题转化成g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立．
解法一：对m的取值分m＞0，m=0，m＜0三种情况分别研究函数的恒成立问题，分析即可求得m的取值范围．
解法二：将问题转化为m(1-

3

x

)≤x在（0，+∞）上恒成立，对x的取值分类讨论，然后利用参变量分离法，转化成求最值问题，

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=x-(3+m)+

3m

x

=

x2-(3+m)x+3m

x

=

(x-3)(x-m)

x

，
①若m≤0，则当x＞3时，f'（x）＞0，
∴f（x）为（3，+∞）上的单调递增函数；
②若m=3，
∵f′(x)=

(x-3)2

x

≥0恒成立，
∴当x＞0时，f（x）为增函数，
∴f（x）为（0，+∞）上的单调递增函数；
③若0＜m＜3，
当0＜x＜m时，f'（x）＞0，则f（x）为（0，m）上的单调递增函数，
当x＞3时，f'（x）＞0，则f（x）为（3，+∞）上的单调递增函数；
④若m＞3，
当0＜x＜3时，f'（x）＞0，则f（x）为（0，3）上的单调递增函数，
当x＞m时，f'（x）＞0，则f（x）为（m，+∞）上的单调递增函数．
综合①②③④可得，
当m≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），
当0＜m＜3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，m），（3，+∞），
当m=3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞），
当m＞3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，3），（m，+∞）；
（Ⅱ）依题意，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3，则有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-3，
当x₁＞x₂＞0时，f（x₁）-f（x₂）＞-3（x₁-x₂），即f（x₁）+3x₁＞f（x₂）+3x₂，
当0＜x₁＜x₂时，f（x₁）-f（x₂）＜-3（x₁-x₂），即f（x₁）+3x₁＜f（x₂）+3x₂，
设函数g（x）=f（x）+3x，
∵对于两个不相等的正数x₁，x₂，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-3恒成立，
∴函数g(x)=

1

2

x2-mx+3mlnx在（0，+∞）恒为增函数，
∴g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
解法一：
①若m＜0时，g′(

m

m-1

)=

m

m-1

-m+

3m

m m-1

=

m

m-1

+2m-3=

1

m-1

+2m-2＜0，
∴g'（x）≥0不恒成立；
②若m=0时，g'（x）=x＞0在（0，+∞）上恒成立；
③若m＞0时，
∵g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
又∵当x＞0时，x+

3m

x

≥2

3m

，（当且仅当x=

3m

时取等号）
∴2

3m

-m≥0成立，
∴

m

(2

3

-

m

)≥0，解得0＜

m

≤2

3

，即0＜m≤12，
∴m=12符合题意．
综上所述，当0≤m≤12时，过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3．
解法二：
∵g′(x)=x-m+

3m

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴m(

3

x

-1)≥-x在（0，+∞）上恒成立，即m(1-

3

x

)≤x在（0，+∞）上恒成立，
①当x=3时，0≤3恒成立，符合题意；
②当0＜x＜3时，m(1-

3

x

)≤x在（0，+∞）上恒成立，等价于m≥

x2

x-3

，
设h(x)=

x2

x-3

，
∵h（x）为减函数，h（x）∈（-∞，0），只需m≥0；
（ⅲ）当x＞3时，上式等价于m≤

x2

x-3

，设h(x)=

x2

x-3

，则h（x）=

(x-3)2+6(x-3)+9

x-3

=x-3+

9

x-3

+6，当x＞3时，h（x）≥12（当且仅当x=6时等号成立）．
则此时m≤12．
在（0，+∞）上，当0≤m≤12时，g′(x)=x-m+

3m

x

≥0成立．过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3．
解法三：
在（0，+∞）上，g′(x)=x-m+

3m

x

≥0恒成立，等价于h（x）=x²-mx+3m≥0在x∈（0，+∞）恒成立，则有
（1）△≤0时，即m²-12m≤0，所以 0≤m≤12
或（2）△＞0时，需

m

2

＜0且h（x）＞3m，即3m≥0显然不成立．
综上所述，0≤m≤12．…（14分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．本题同时还考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于难题．