Question

已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（I） 求函数f（x）的表达式；
（II）若f（x）的定义域、值域均为[m，n]，（0≤m＜n）试求所有满足条件的区间[m，n]；
（Ⅲ）若直线l与f(x)=

ax

x2+b

的图象切于点P（x₀，y₀），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导函数f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，利用函数在x=1处取得极值2，可得

f/(1)=0 f(1)=2

，从而得解．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，+∞]上为减函数，分类讨论：0≤m＜n≤1；1≤m＜n；0≤m＜1＜n，从而可求满足条件的区间．
（Ⅲ）求导函数f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x2-1)

(1+x2)2

，由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]，进而尅去直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：（I）因f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

…（2分）
而函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2
所以 

f/(1)=0 f(1)=2

⇒

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1

所以 f(x)=

4x

1+x2

为所求                             …（4分）
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，+∞]上为减函数，
（1）若0≤m＜n≤1，则

f(m)=m f(n)=n

，无解．…（8分）
（2）若1≤m＜n，则

f(m)=n f(n)=m

，无解．…（10分）
（3）若0≤m＜1＜n，则n=2，而f(2)=

8

5

＞1，所以

0≤m≤1 f(m)=m

，解得m=0．
综合知，满足条件的区间为[0，2]．…（12分）
（Ⅲ）f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x2-1)

(1+x2)2

由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]…（15分）
令t=

1

1+x02

，则t∈（0，1]
此时，k=8(t2-

1

2

t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

根据二次函数k=8(t-

1

4

)2-

1

2

的图象性质知：
当t=

1

4

时，k min=-

1

2

，
当t=1时，k_max=4．
所以，直线l的斜率k的取值范围是[-

1

2

 ， 4 ]．         …（18分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，同时考查了导数的几何意义．