Question

定义非零向量

OM

=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

OM

=（a，b）称为f（x）=asinx+bcosx，（x∈R）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S
（1）设h（x）=

3

cos（x+

π

6

）-3cos（

π

3

-x）（x∈R）
①求证：h（x）∈S
②求（1）中函数h（x）的“相伴向量”的模；
（2）已知点M（a，b）满足：

b

a

∈（0，

3

]，向量

OM

“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值，求tan2x₀的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）①用诱导公式对函数解析式化简，构造出asinx+bcosx的形式，进而求得函数h（t）为向量

OM

=（-3，

3

）的相伴函数，证明结论．
②利用①中相伴向量，求得向量的模．
（2）利用辅角公式对函数解析式恒等变换，分别表示出cosφ和sinφ，根据三角函数性质求得函数取最大值时，x的值，进而表示出tanx₀，再表示出tan2x₀，用换元法，令m=

b

a

重新表示出tan2x₀，利用m的范围求得tan2x₀的取值范围．

解答： 解：（1）①证明：∵h（x）=

3

cos（x+

π

6

）-3cos（

π

3

-x）=

3

cos（x+

π

6

）-3sin（x+

π

6

），
∴函数h（t）为向量

OM

=（-3，

3

）的相伴函数，
∴h（x）∈S
②由①知函数h（x）的“相伴向量”

OM

=（-3，

3

），
∴|

OM

|=

3+9

=2

3

（2）

OM

的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

，
当x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z时，f（x）取得最大值，
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
∴tan2x₀=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1- b2 a2

=

2

b a - a b

，
令m=

b

a

，tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈（0，

3

]m
则

1

m

≥

3

3

，-

1

m

≤-

3

3

，
∴m-

1

m

∈（-∞，

2 3

3

]，
∴tan2x₀∈（-∞，0）∪（

3

，+∞）

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了分析推理和归纳的能力．综合性较强．