Question

1．如果一个正方体的体积在数值上等于V，表面积在数值上等于S，且V-S-m≥0恒成立，则实数m的范围是（　　）

• A． （-∞，-16]
• B． （-∞，-32]
• C． [-32，-16]
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 设正方体的棱长为a，a＞0，则体积V=a³，表面积S=6a²，将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可．．

解答 解：设正方体的棱长为a，a＞0，
则体积V=a³，表面积S=6a²，
则V-S-m≥0恒成立等价为a³-6a²-m≥0恒成立，
即m≤a³-6a²在a＞0上恒成立，
设f（a）=a³-6a²，
则f′（a）=3a²-12a=3a（a-4），
由f′（a）＞0得a＞4或a＜0（舍），此时函数递增，
由f′（a）＜0得0＜a＜4，此时函数递减，
即当a=4时，函数取得极小值同时也是最小值f（4）=4³-6×4²=64-96=-32，
则m≤-32，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式恒成立的求解，设出棱长，求出对应的体积和表面积，利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．