Question

5．用|S|表示集合S的元素个数，由n个集合为元素组成的集合称为“n个元素”，如果集合A、B、C满足、|A∩B|=|B∩C|=|A∩C|=1，且A∩B∩C=∅，则称{A，B，C}为最小相交“三元集”．给出下列命题：
①集合{1，2}的非空子集能组成6个“二元集”；
②若集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，则|M|≥3；
③集合{1，2，3，4}的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16个；
④若集合|M|=n，则它的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有2ⁿ个．
其中正确的命题有②③．（请填上你认为所有正确的命题序号）

Answer 1

分析 对于①，集合{1，2}的非空子集个数为3，列举即可判断；
对于②，考虑集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，且|M|＜3，讨论|M|=1，|M|=2不成立；
对于③，设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，∵A∩B∩C=∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，讨论A，B，C中元素个数，即可判断；
对于④，若集合|M|=n，若n=5，讨论满足条件的三元集的个数，即可判断．

解答 解：对于①，集合{1，2}的非空子集个数为3，且为{1}，{2}，{1，2}，能组成3个“二元集”，则①错误；
对于②，若集合M的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，且|M|＜3，则|M|=1显然不成立，
当|M|=2，共有3个非空子集，A，B，C不满足|A∩B|=|B∩C|=|A∩C|=1，但满足A∩B∩C=∅，
则|M|=2不成立，则②正确；
对于③，∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，∴设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
∵A∩B∩C=∅，且x，y，z∈{1，2，3，4}，∴若集合{1，2，3，4}中的子集含有4个元素时，
∴从1，2，3，4四个元素选3个有${C}_{4}^{3}$=4种方法，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，
∴此时共有3×4=12种．
若集合{1，2，3，4}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．
∴从1，2，3，4四个元素选3个有${C}_{4}^{3}$=4种方法，
综上共有12+4=16个．则③正确；
对于④，若集合|M|=n，若n=5，∵|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1，∴设A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，
∵A∩B∩C=∅，且x，y，z∈{1，2，3，4，5}，
∴若集合{1，2，3，4，5}中的子集含有5个元素时，
∴从1，2，3，4，5五个元素选4个有${C}_{5}^{4}$=5种方法，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，
∴此时共有3×5=15种．
若集合{1，2，3，4，5}中的子集含有4个元素时，从1，2，3，4，5五个元素选3个有${C}_{5}^{3}$=10种方法，剩余的一个元素可以分别放入集合A，B，C，有3种，∴此时共有3×10=30种．
若集合{1，2，3，4，5}中的子集含有3个元素时，满足集合A，B，C中都只有一个元素．
∴从1，2，3，4，5五个元素选3个有${C}_{5}^{3}$=10种方法，
综上共有15+30+10=55个．则④错误．
故答案为：②③．

点评 本题主要考查集合的关系的应用，正确理解新定义是解决本题关键，利用排列组合的知识是解决本题的突破点．