Question

【题目】已知四棱锥的底面为直角梯形，，，是以为底边的等腰直角三角形．

（1）求证：；

（2）若为的垂心，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连结，证明平面，即可得到答案；

（2）证明两两互相垂直，再以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求得两个面的法向量，进而求得二面角的余弦值.

（1）取的中点，连结，

因为是以为底边的等腰直角三角形，

所以，

因为，所以四边形为正方形，

所以，又，

所以平面，

所以.

（2）连结并延长交于，由（1）得，

所以，因为，所以为的中点，

取的中点为，连结，则以两两互相垂直，

以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

设为面的一个法向量，则

取，所以，

设为面的一个法向量，则

取，所以，

所以，

因为二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为.