Question

（2009•武汉模拟）（文科做）已知函数f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

（1）求证：f(x)=

2

sin(x+

π

4

)；      
（2）求函数y=f（x）的定义域．

Answer 1

分析：（1）将分子中的1用sin²x+cos²x代替，利用二倍角公式将sin2x用2sinxcosx表示，利用完全平方公式，合并同类项，得证．
（2）令分母不为0，通过解三角不等式sin(x+

π

4

)≠-

2

2

，求出x的范围，写成集合形式即为函数的定义域．

解答：证：（1）左边=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)

1+sinx+cosx

=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)=右边．证毕．
（2）x 需满足1+sinx+cosx≠0，

2

sin(x+

π

4

)≠-1
，即sin(x+

π

4

)≠-

2

2

，
∴x≠2kπ-

π

2

，且x≠2kπ-π，（k∈Z）．
∴函数的定义域为：{x|x≠2kπ-

π

2

，且x≠2kπ-π，k∈Z．}

点评：本题考查三角函数中1的灵活运用，三角函数中二倍角的应用，是一道中档题．