【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率,且椭圆的短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线l1,l2过右焦点F2,且它们的斜率乘积为﹣1,设l1,l2分别与椭圆交于点A,B和C,D.①求AB+CD的值;②设AB的中点M,CD的中点为N,求△OMN面积的最大值.
【答案】(1)(2)①②
【解析】
(Ⅰ)由离心率e=,短轴长为2.可得a,b,即可写出方程;(2)设出直线 : 与椭圆联立,求出,同理 ,求出中点坐标M,N,再利用MN两点确定的直线恒过定点和面积公式即可求出.
(Ⅰ)由题意得2b=2,∴b=1,
∵,a2=b2+c2,∴a=,c=1,
∴椭圆的方程为.
(2)由题意知k0,右焦点 设 :
设A( )B()
因为l1,l2的斜率乘积为﹣1,所以
所以= +=3过定点 可通过特殊情形猜想,若有定点,则在x 轴上.
在k≠0,k≠±1的情况下,设直线l的方程为:x=ky+1,
直线l的方程为: ,
由(2)得,y= ,
故 ,即M(,),
则N(, )….(12分)
可得直线MN的方程:,
即,则,即
y=
故直线MN过定点(或令y=0,即得x=)
易验证当k=0,k=±1时,结论仍成立.
综上,直线MN过定点
所以S= =
所以面积最大
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【题目】甲、乙两名运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在、、、环,且每次射击成绩互不影响.根据以往的统计数据,甲、乙射击环数的频率分布条形图如下:
若将频率视为概率,回答下列问题:
(1)甲、乙各射击一次,求甲、乙同时击中环的概率;
(2)求甲射击一次,击中环以上(含环)的概率;
(3)甲射击次,表示这次射击中击中环以上(含环)的次数,求的分布列及数学期望.
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【题目】设n为给定的大于2的整数。有n个外表上没有区别的袋子,第k(k=1,2,···,n)个袋中有k个红球,n-k个白球。将这些袋子混合后,任选一个袋子,并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。求第三次取出的为白球的概率。
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【题目】如图,是的直径,点B是上与A,C不重合的动点,平面.
(1)当点B在什么位置时,平面平面,并证明之;
(2)请判断,当点B在上运动时,会不会使得,若存在这样的点B,请确定点B的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,F为x轴正半轴上的一个动点.以F为焦点、O为顶点作抛物线C.设P为第一象限内抛物线C上的一点,Q为x轴负半轴上一点,使得PQ为抛物线C的切线,且.圆C1、C2均与直线OP切于点P,且均与x轴相切.求点F的坐标,使圆C1与C2的面积之和取到最小值,
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【题目】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望;
(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值;
(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是;若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?
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