精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知椭圆方程为
y22
+x2=1
,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求m的取值范围;
(Ⅱ)求△MPQ面积的最大值.
分析:(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+1,由
y=kx+1
y2
2
+x2=1
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
-2k
k2+2
x1x2=-
1
k2+2
.可得y1+y2=k(x1+x2)+2=
4
k2+2
.由此能求出m的取值范围.
(Ⅱ)设椭圆上焦点为F,则S△MPQ=
1
2
•|FM|•|x1-x2|
=
2m(1-m)3
,所以△MPQ的面积为
2
m(1-m)3
0<m<
1
2
).由此能求出△MPQ的面积的最大值.
解答:解:(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+1,由
y=kx+1
y2
2
+x2=1
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
-2k
k2+2
x1x2=-
1
k2+2

可得y1+y2=k(x1+x2)+2=
4
k2+2
.…(3分)
设线段PQ中点为N,则点N的坐标为(
-k
k2+2
2
k2+2
)

由题意有kMN•k=-1,可得
m-
2
k2+2
k
k2+2
•k=-1
.可得m=
k
k2+1

又k≠0,所以0<m<
1
2
.…(6分)
(Ⅱ)设椭圆上焦点为F,
S△MPQ=
1
2
•|FM|•|x1-x2|
=
2m(1-m)3
…(9分)
所以△MPQ的面积为
2
m(1-m)3
0<m<
1
2
).
设f(m)=m(1-m)3,则f'(m)=(1-m)2(1-4m)(0,
1
4
)

可知f(m)在区间(0,
1
4
)
单调递增,在区间(
1
4
1
2
)
单调递减.
所以,当(0,
1
4
)
时,f(m)=m(1-m)3有最大值f(
1
4
)=
27
256

所以,当时,△MPQ的面积有最大值
3
6
16
.…(12分)
点评:本题考查m的取值范围和求△MPQ面积的最大值.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆方程为
y22
+x2=1
,斜率为k(k≠0)的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴交于点M(0,m).
(1)求m的取值范围;    
(2)求△OPQ面积的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•泸州二模)已知双曲线方程
x2
2
-
y2
2
=1
,椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A、D分别是双曲线和椭圆的右准线与x轴的交点,B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点,O为坐标原点,且|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若E是椭圆长轴的左端点,动点M满足MC⊥CE,连接EM,交椭圆于点P,在x轴上有异于点E的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点,求点Q的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆方程是
x2
6
+
y2
2
=1
,则焦距为(  )
A、4B、5C、7D、8

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆方程为
y2
2
+x2=1
,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求m的取值范围;
(Ⅱ)求△MPQ面积的最大值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案