Question

已知函数f （x）=ax²+bx+l（ a，b∈R，a≠0 ），函数f （x）有且只有一个零点，且f （-1）=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，g（ x）=f （x）-kx不是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f（-1）=0可得a，b之间的关系，然后由f （x）有且只有一个零点可得，△=b²-4a=0，联立方程可求a，b
（II）由（I）可知g（x）=f（x）=k，则可得g（x）=x²+（2-k）x+1在x∈[-2，2]时不是单调函数可得-2＜

k-2

2

＜2可求k的范围

解答：解：（I）∵f（-1）=0
∴a-b+1=0即b=a+1①
∵f （x）=ax²+bx+l有且只有一个零点
∴△=b²-4a=0②
联立①②可得a=1，b=2
（II）由（I）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∴-2＜

k-2

2

＜2
∴-2＜k＜6
即实数k的取值范围为（-2，6）

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，解答（I）的关键是由函数只有一个零点的条件的应用，解答（II）的关键是熟练灵活利用二次函数的性质