Question

已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由题意可知， ，   而，    且.       解得，

所以，椭圆的方程为.                                         

  

（2）由题可得.设，                                

直线的方程为，                                       

令，则，即；                  

直线的方程为，                                         

令，则，即；                  

证法一：设点在以线段为直径的圆上，则，            

即，                                 

，

而，即，

，或.                             

所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或.          

证法二：以线段为直径的圆为

                          

令，得，                         

∴，而，即，

∴，或.                               

所以以线段为直径的圆必过轴上的定点或.           

解法3：令，则，令，得            

同理，.                                                     

∴以为直径的圆为                                    

当时，或.

∴圆过 ks5*u                                             

令，    直线的方程为，                                         

令，则，即；                   

直线的方程为， ks5*u

令，则，即；                  

∵    ∴在以为直径的圆上.

同理，可知也在为直径的圆上.   ∴定点为  

【解析】略