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为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式,高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿,作为班旗的旗杆之用,它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(单位:米).
(Ⅰ)若从中随机抽取两根竹竿,求长度之差不超过0.5米的概率;
(Ⅱ)若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元,长度小于4米的竹竿价格为每根a元.从这6根竹竿中随机抽取两根,若期望这两根竹竿的价格之和为18元,求a的值.
分析:(Ⅰ)由题意知,本题是一个古典概型,6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5,满足条件的事件是其中长度之差不超过0.5米的两根竹竿,先做出它的对立事件的概率,用1减去得到结果.
(Ⅱ)由题意知任取两根竹竿的价格之和为ξ,则ξ的可能取值为2a,a+10,20.结合变量对应的事件写出分布列和期望,根据期望这两根竹竿的价格之和为18元,列出关于a的方程,解方程即可.
解答:解:(Ⅰ)由题意知,本题是一个古典概型,
∵6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5,
其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5.
设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A,
P(
.
A
)=
3
C
2
6
=
3
15
=
1
5

P(A)=1-P(
.
A
)=1-
1
5
=
4
5

∴所求的概率为
4
5

(Ⅱ)设任取两根竹竿的价格之和为ξ,则ξ的可能取值为2a,a+10,20.
其中P(ξ=2a)=
1
C
2
6
=
1
15

P(ξ=a+10)=
C
1
2
C
1
4
C
2
6
=
8
15

P(ξ=20)=
C
2
4
C
2
6
=
6
15

Eξ=2a×
1
15
+(a+10)×
8
15
+20×
6
15
=
2a+40
3

2a+40
3
=18

∴a=7.
点评:本题考查古典概型,考查对立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查的不是求期望,而是利用期望的值求式子中出现的一个变量,利用解方程的思想.
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科目:高中数学 来源:期末题 题型:解答题

为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式,高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿,作为班旗的旗杆之用,它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(单位:米),  
(1)若从中随机抽取两根竹竿,求长度之差不超过0.5米的概率;   
(2)若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元,长度小于4米的竹竿价格为每根a元.从这6根竹竿中随机抽取两根,若期望这两根竹竿的价格之和为18元,求a的值。

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