Question

为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（单位：米）．
（Ⅰ）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；
（Ⅱ）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，满足条件的事件是其中长度之差不超过0.5米的两根竹竿，先做出它的对立事件的概率，用1减去得到结果．
（Ⅱ）由题意知任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a，a+10，20．结合变量对应的事件写出分布列和期望，根据期望这两根竹竿的价格之和为18元，列出关于a的方程，解方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，
∵6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，
其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．
设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A，
则P(

.

A

)=

3

C 2 6

=

3

15

=

1

5

，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

1

5

=

4

5

．
∴所求的概率为

4

5

．
（Ⅱ）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a，a+10，20．
其中P(ξ=2a)=

1

C 2 6

=

1

15

，
P(ξ=a+10)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
P(ξ=20)=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

．
∴Eξ=2a×

1

15

+(a+10)×

8

15

+20×

6

15

=

2a+40

3

．
∵

2a+40

3

=18，
∴a=7．

点评：本题考查古典概型，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查的不是求期望，而是利用期望的值求式子中出现的一个变量，利用解方程的思想．