Question

（2013•广东模拟）设函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的图象关于直线x=

2

3

π对称，它的周期是π，则（　　）

• A．f（x）的图象过点（0，

  1

  2

  ）
• B．f（x）在[

  π

  12

  ，

  2π

  3

  ]上是减函数
• C．f（x）的一个对称中心是（

  5π

  12

  ，0）
• D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象

Answer 1

分析：由题意通过周期与对称轴，分别求出ω，与φ，推出函数的解析式，然后逐个验证选项，判断正误即可．

解答：解：因为函数的周期为π，所以ω=2，又函数图象关于直线x=

2

3

π对称，
所以由f(x)=3sin(2x+φ)(ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，
可知2×

2

3

π+φ=kπ+

π

2

，φ=kπ-

5π

6

，-

π

2

＜φ＜

π

2

，
所以k=1时φ=

π

6

．
函数的解析式为：f(x)=3sin(2x+

π

6

)．当x=0时f（0）=

3

2

，所以A不正确．
当

π

12

＜x＜

2π

3

，2x+

π

6

∈[

π

3

，

3π

2

]，函数不是单调减函数，B不正确；
当x=

5π

12

时f（x）=0．函数的一个对称中心是（

5π

12

，0）正确；
f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin（ωx+φ-ωφ）的图象，不是函数y=3sinωx的图象，D不正确；
故选C．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的基本性质的应用，考查计算能力．