Question

若不等式x²+px+q＜0的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

3

}，求关于x的不等式qx²+px+1＞0的解集．

Answer 1

分析：根据不等式x²+px+q＜0的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

3

}，-

1

2

和

1

3

可看作方程x²+px+q=0的两个根，从而能求出p，q的值，代入qx²+px+1＞0，能求出不等式的解．

解答：解：∵不等式x²+px+q＜0的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

3

}，
∴x₁=-

1

2

，x₂=

1

3

是方程x²+px+q=0的根，
∴-p=-

1

2

+

1

3

=-

1

6

，q=-

1

2

×

1

3

=-

1

6

，
∴p=

1

6

，q=-

1

6

，
∴不等式qx²+px+1＞0，
即-

1

6

x²+

1

6

x+1＞0，
∴x²-x-6＜0，
∴-2＜x＜3．
∴不等式qx²+px+1＞0的解集为{x|-2＜x＜3}

点评：本题考查一元二次不等式，关键是知道不等式的解集和方程的解之间的联系，从而求解．