Question

在数列{a_n}中，已知a₁+a₂=5，当n为奇数时，a_n+1-a_n=1，当n为偶数时，a_n+1-a_n=3，则下列的说法中：
①a₁=2，a₂=3；  
②{a_2n-1}为等差数列； 
③{a_2n}为等比数列；    
④当n为奇数时，a_n=2n；当n为偶数时，a_n=2n-1．
正确的为

①②④

．

Answer 1

分析：结合题意，分别由等差数列和等比数列的定义验证可得．

解答：解：由题意可得a₂-a₁=1，结合a₁+a₂=5解之可得a₁=2，a₂=3，故①正确；
由于2n-1为奇数，代入已知可得a_2n-a_2n-1=1，（A）
2n为偶数，同理可得a_2n+1-a_2n=3，（B）
A，B两式相加可得a_2n+1-a_2n-1=4，
故可得{a_2n-1}为公差为4的等差数列，故②正确；
由②可知a_2n-1=2+4（n-1）=4n-2=2（2n-1），故a_2n+1=2（2n+1），
A，B两式相减可得a_2n+1+a_2n-1-2a_2n=2，
故可得a_2n=4n-1=2×2n-1，故{a_2n}为等差数列，故③错误；
由③可得a_2n-1=2（2n-1），a_2n=2×2n-1，
故当n为奇数时，a_n=2n；当n为偶数时，a_n=2n-1，故④正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查等差数列和等比数列的确定，属中档题．