Question

已知函数f（x）=，若f（x）-kx有三个零点，则k的取值范围为________．

Answer 1

分析：由题意画出图象，利用导数对x分x=0、x＜0、x＞0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来，再求交集即可．
解答：由题意画出图象：
（1）当x=0时，f（0）=ln1=0，k×0=0，0是函数f（x）-kx的一个零点；
（2）由函数的图象和单调性可以看出，当x＞0和x＜0时，分别有一个零点．
①．当x＜0时，由，化为＜0，解得；
②当x＞0时，只考虑即可，
令g（x）=ln（x+1）-kx，则，
A．当k≥1时，则g^′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，g（x）无零点，应舍去；
B．当时，，
g^′（x）=，令g^′（x）=0，解得，列表如下：
由表格可知：当时，g（x）取得极大值，也是最大值，当且仅当时，g（x）才有零点，
==k-lnk-1．
下面证明h（k）=k-lnk-1＞0，．
∵=，∴h（k）在上单调递减，∴=h（k）＞h（1）=1-ln1-1=0，
因此0在时成立．
综上可知：当且仅当时，函数f（x）-kx有三个零点．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法及数形结合、分类讨论的思想方法是解题的关键．