Question

（2013•泰安二模）已知实数x，y满足约束条件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

，若函数z=ax+by（＞0，b＞0）的最大值为1，则

1

a

+

1

b

的最小值为（　　）

• A．7+4

  3

• B．7+2

  3

• C．8

  3

• D．4

  3

Answer 1

分析：由已知利用线性规划可得3a+4b=1，而

1

a

+

1

b

=（3a+4b）（

1

a

+

1

b

）展开后利用基本不等式即可求解．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
由直线ax+by=z（a＞0，b＞0）可得y=-

a

b

x+

z

b

，则

z

b

表示直线在y轴截距，截距越大z越大
由a＞0，b＞0可得-

a

b

＜0
∴直线ax+by=z过点B时，目标函数有最大值
由

2x-y=2 x-y=-1

可得B（3，4）
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大1，
即3a+4b=1，而 

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（3a+4b）=7+

4b

a

+

3a

b

≥7+4

3

当且仅当

4b

a

=

3a

b

时取等号
∴

1

a

+

1

b

的最小值7+4

3

．
故选A．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．