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已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1:y=
3
x和l2:y=-
3
x
,其焦点在x轴上,实轴长为2.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线相切于点M且与右准线交于N,F为右焦点,求证:∠MFN为直角.
分析:(Ⅰ)设出双曲线的方程,根据焦点在x轴上,实轴长为2,求出参数,即可求双曲线的方程;
(Ⅱ)由y=kx+1代入双曲线方程,消去y,利用△=0,求出k的值,进而求出M,N的坐标,即可证明结论.
解答:(Ⅰ)解:由题意,设双曲线方程为 3x2-y2=λ(λ>0)⇒
x2
λ
3
-
y2
λ
=1

又2a=1,∴a=1,
λ
3
=1
,∴λ=3,
∴方程为x2-
y2
3
=1

(Ⅱ)证明:由y=kx+1代入双曲线方程,消去y得(3-k2)x2-2kx-4=0,
3-k2≠0
△=0
,可得
k2≠3
k2=4

∴k=±2,
当k=2时得 xM=-2,代入y=2x+1得yM=-3,
∴M(-2,-3),
y=2x+1
x=
1
2
⇒N(
1
2
,2)

F(2,0)⇒
FM
=(-4,-3)
FN
=(-
3
2
,2)⇒
FM
FN
=6-6=0⇒
FM
FN

当k=-2时同理得M(2,-3),N(
1
2
,0)
F(2,0)⇒
FM
=(0,-3),
FN
=(-
3
2
,0)⇒
FM
FN
=0⇒
FM
FN

综上:∠MFN为直角.
点评:本题考查双曲线的方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源:重庆市高考真题 题型:解答题

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