Question

9．已知等差数列{a_n}的前三项的和为-3，前三项的积为8，且a₂，a₃，a₁成对比数列，则数列{|a_n|}的前n（n≥3）项和为S_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+10$，（n≥3）．

Answer 1

分析 由等差数列通项公式即可得出a_n；利用a₂，a₃，a₁成等比数列，求出首项和公差即可得出数列{|a_n|}的前n项和为S_n．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n}的前三项的和为-3，前三项的积为8，
∴得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=-3}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=8}\end{array}\right.$ 
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-4}\\{d=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=2-3（n-1）=-3n+5或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
当a_n=-3n+5时，a₂，a₃，a₁分别为-1，-4，2，不成等比数列，不满足条件．
当a_n=3n-7时，a₂，a₃，a₁分别为-1，2，-4，成等比数列，满足条件．
故a_n=3n-7．
设数列{|a_n|}的前n项和为S_n．
∴当n=1，2时，|a_n|=7-3n，${S}_{n}=\frac{n（4+7-3n）}{2}$=$-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}$n；
当n≥3时，|a_n|=3n-7，
S_n=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n=5+$\frac{（n-2）（2+3n-7）}{2}$=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+10$．（n≥3）
故答案为：S_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{11}{2}n+10$，（n≥3）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与前n项和公式、含绝对值符号的数列的求和问题．考查学生的运算能力．