Question

11．已知A（x₁，f（x₁），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）图象上的任意两点，且初相φ的终边经过点P（1，-$\sqrt{3}$），若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanφ的值，可得φ的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）由题意可得f（x）的值域，可得 1-$\frac{2}{2+f（x）}$ 的最大值，条件即m≥$\frac{f（x）}{2+f（x）}$=1-$\frac{2}{2+f（x）}$ 恒成立，从而求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵初相φ的终边经过点P（1，-$\sqrt{3}$），
∴φ为第四象限角，且tanφ=$\frac{-\sqrt{3}}{1}$=-$\sqrt{3}$，
再结合-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，可得φ=-$\frac{π}{3}$．
∵|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为 $\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，
∴ω=3，函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{8}$，
可得函数的增区间为[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{18}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{18}$]．
再结合x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
可得当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数的增区间为[0，$\frac{5π}{18}$]．
（Ⅲ）∵当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，
∴3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，
故 1-$\frac{2}{2+f（x）}$ 的最大值为1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，
即m≥$\frac{f（x）}{2+f（x）}$=1-$\frac{2}{2+f（x）}$ 恒成立，
∴m≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．