Question

设x，y∈R，在直角坐标平面内，a=(x，y+2)，b=(x，y-2)，且|a|+|b|=8．

(Ⅰ)求点M(x，y)的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

解：(1)由题意得：=8，即点M(x，y)到两定点F₁(0，-2)，F₂(0，2)的距离之和为定值，且|F₁F₂|＜8，所以点M(x，y)的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，化简可得椭圆方程为：=1

(Ⅱ)过点(0，3)作直线l，当l与x轴垂直时，AB过坐标原点，这与以AB为直径的圆过坐标原点矛盾.∴直线l的斜率存在．设l的方程为y=kx+3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由消去y得(4+3k²)x²+18kx-21=0．

△=(18k)²-4(4+3k²)(-21)＞0恒成立．

且x₁+x₂=，x₁x₂=，由条件AB为直径，

则OA⊥OB，即=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

y₁y₂=(kx₁+3)(kx₂+3)=k²x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9，

即(1+k²)x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=0，

∴(1+k²)()+3k()+9=0，

解得：k=±    ∴直线l的方程为：y=±x+3