Question

如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．
（1）∠E=

45

度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦DE的长．

Answer 1

分析：（1）由圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，知∠E=∠ACD=45°．
（2）由∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，知△ACP∽△DEP．
（3）由△ACP∽△DEP，知

AP

DP

=

AC

DE

，由边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，AP=

4+1

=

5

，AC=

4+4

=2

2

，由此能求出DE．

解答：解：（1）∵圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，
∴∠ACD=45°，
∴∠E=∠ACD=45°，
故答案为：45°．
（2）△ACP∽△DEP，
理由：∵∠AED=∠ACD，
∠APC=∠DPE，
∴△ACP∽△DEP．
（3）∵△ACP∽△DEP，
∴

AP

DP

=

AC

DE

，
∵边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，
∴AP=

4+1

=

5

，
AC=

4+4

=2

2

，
∴DE=

AC•DP

AP

=

2 2 ×1

5

=

2 10

5

．

点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．