Question

如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量

AP

=m

AB

+n

AF

（m，n为实数），则m+n的取值范围是（　　）

• A、（1，2]
• B、[5，6]
• C、[2，5]
• D、[3，5]

Answer 1

分析：如图所示，设点O为正六边形的中心，则

AO

=

AB

+

AF

，当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，可知

AP

=

AO

+

OP

，利用共线定理可得：存在实数t，使得

OP

=t

FB

．于是

AP

=

AO

+t

FB

=(1+t)

AB

+(1-t)

AF

，此时m+n=2，取得最小值．当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与⊙Q的交点P时．

AP

=

5

2

AO

=

5

2

(

AB

+

AF

)=

5

2

AB

+

5

2

AF

，此时m+n=5取得最大值．

解答：解：如图所示，
①设点O为正六边形的中心，则

AO

=

AB

+

AF

．
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，
则

AP

=

AO

+

OP

，
∵

OP

与

FB

共线，∴存在实数t，使得

OP

=t

FB

．
∴

AP

=

AO

+t

FB

=

AB

+

AF

+t(

AB

-

AF

)=(1+t)

AB

+(1-t)

AF

，
此时m+n=1+t+1-t=2，取得最小值．
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与⊙Q的交点P时．

AP

=

5

2

AO

=

5

2

(

AB

+

AF

)=

5

2

AB

+

5

2

AF

，
此时m+n=

5

2

+

5

2

=5取得最大值．
因此m+n的取值范围是[2，5]．
故选：C．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量的运算、平面向量的基本定理、正六边形的性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．