Question

如图，在边长为2 （单位：m）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m．
（1）求正四棱锥的体积V（x）；
（2）当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值？

Answer 1

分析：（1）由题意求出棱锥的底面面积以及棱锥的高，即可求正四棱锥的体积V（x）；
（2）通过（1）棱锥的体积的表达式，利用函数的导数求出函数的极值点，说明是函数的最大值点，即可求解当x为何值时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值．

解答：（本题满分10分）
解 （1）设正四棱锥的底面中心为O，一侧棱为AN．则
由于切去的是等腰三角形，所以AN=

1+x2

，NO=1-x，…（2分）
在直角三角形AON中，AO=

AN2-NO2

=

1+x2-(1-x)2

=

2x

，…（4分）
所以V（x）=

1

3

•

1

2

•[2（1-x）]²•

2x

=

2 2

3

（1-x）²

x

，（0＜x＜1）．   …（6分）
（不写0＜x＜1扣1分）
（2）V′（x）=

2 2

3

[（2x-2）

x

+

(1-x)2

2 x

]=

2 2

3

（x-1）

5x-1

2 x

，…（8分）
令V′（x）=0，得x=1（舍去），x=

1

5

．
当x∈（0，

1

5

）时，V′（x）＞0，所以V（x）为增函数；
当x∈（

1

5

，1）时，V′（x）＜0，所以V（x）为减函数．
所以函数V（x）在x=

1

5

时取得极大值，此时为V（x）最大值．
答：当x为

1

5

m时，正四棱锥的体积V（x）取得最大值．     …（10分）
说明：按评分标准给分，不写函数的定义域扣（1分），没有答扣（1分）．

点评：本题以折叠图形为依托，考查空间几何体的体积的求法，通过函数的对数求法函数的值的方法，考查空间想象能力与计算能力；解题中注意函数的定义域，导数的应用．