Question

（本小题满分14分）设函数．

（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）若函数在上为减函数，则对任意的恒成立，又即对任意的恒成立；（2）“若存在使成立”等价于

“当时，有，分别求出相应的最值后分<两种情况进行分类讨论，当时，可得=，故．当<时不存在；当然本题也可用分离参数.

试题解析：（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f （x）在上为减函数，故在上恒成立． 1分

所以当时，．

又， 2分

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为． 4分

（2）命题“若存在使成立”等价于

“当时，有”． 5分

由（Ⅰ），当时，，．

问题等价于：“当时，有”． 6分

①当时，由（1），在上为减函数，

则=，故． 8分

②当<时，由于在上的值域为

（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的单调性和值域知，

存在唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，， 12分

所以，，与矛盾． 13分

综上，得 14分

考点：函数与导数的综合应用