Question

已知圆锥曲线C：（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F₁、F₂同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，利用椭圆与双曲线的标准方程即可得出；
（2）满足的P在以F₁F₂为直径的圆周上．再根据t的取值范围，可得当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，可得p的个数．再根据b与c的关系即可得出p点的个数．
解答：解：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，
当，即时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
当t²-2t＜0即t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线．
（2）满足的P在以F₁F₂为直径的圆周上
当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，P有4个
当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
此时a²=16，b²=t²-2t，c²=16-（t²-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）时，P有4个
若b=c，即t=-2或t=4时，P有2个
若b＞c，即时，P不存在．
点评：熟练掌握椭圆、圆与双曲线的标准方程及其性质、分类讨论的思想方法等是解题的关键．