Question

袋中装有若干个形状大小相同的小球，其中2个标有数字1，3个标有数字2，n个标有数字3，取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，两次取球所标数字不相同的概率与两次取球所标数字相同的概率之差为

5

16

．
（1）求n的值；
（2）记两次取球所标数字之和为X，求X的分布列与均值（数学期望）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知

2(3+n)+3(2+n)+n(2+3)

(5+n)2

-

2×2+3×3+n2

(5+n)2

=

5

16

，由此能求出n的值．
（2）由已知得X的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与均值（数学期望）．

解答： 解：（1）由已知得

2(3+n)+3(2+n)+n(2+3)

(5+n)2

-

2×2+3×3+n2

(5+n)2

=

5

16

，
整理，得21n²-110n+141=0，
解得n=3或n=

47

21

（舍），
∴n=3．
（2）由已知得X的可能取值为2，3，4，5，6，
P（X=2）=

2×2

8×8

=

1

16

，
P（X=3）=

2×3+3×2

8×8

=

3

16

，
P（X=4）=

3×3+3×2+2×3

8×8

=

21

64

，
P（X=5）=

3×3+3×3

8×8

=

9

32

，
P（X=6）=

3×3

8×8

=

9

64

，
∴X的分布列为：

X	2	3	4	5	6
P	1 16	3 16	21 64	9 32	9 64

EX=2×

1

16

+3×

3

16

+4×

21

16

+5×

9

32

+6×

9

64

=

17

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．