Question

已知f（x）=ax3+bx2-3x+

1

3

，f（2）=-7，f′（2）=-3，g（2）=1，g′（2）=-

1

2

．
（1）求函数f（x）在[-4，4]的最大值和最小值；
（2）设h（x）=

f(x)+5

g(x)

，求曲线y=h（x）在点（2，h（2））处的切线l的方程，并判断l是否与曲线y=f（x）相切，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=-7，f′（2）=-3，则可得到a，b关系式，即可解出a与b的值，进而得到函数f（x）的极值点，得到函数在[-4，4]的最大值和最小值；
（2）由题意得到h(2)=-2，h′(x)=

f′(x)g(x)-[f(x)+5]g′(x)

g2(x)

，从而得到k=h′（2）=-4，由直线方程点斜式得到切线方程，若设切点为(x0，y 0)，则有k=x02-2x0-3=-4，解出x₀，求出(x0，y 0)=(1，-

10

3

)不在直线l上，即得结论．

解答：解：（1）由f（x）=ax3+bx2-3x+

1

3

，得f'（x）=3ax²+2bx-3，
∵f（2）=-7，f′（2）=-3，
则

8a+4b-6+ 1 3 =-7 12a+4b-3=-3

，解得

a= 1 3 b=-1

．
∴f(x)=

1

3

x3-x2-3x+

1

3

．  
则f′（x）=x²-2x-3，令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3．
列表如下：

x	-4	（-4，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）	/	+	0	-	0	+	/
f（x）	-25	↗	2	↘	- 26 3	↗	- 19 3

由上表知，f_min（x）=-25，f_max（x）=2．
（2）由h（x）=

f(x)+5

g(x)

，得h(2)=

f(2)+5

g(2)

=

-7+5

1

=-2，
h′(x)=

f′(x)g(x)-[f(x)+5]g′(x)

g2(x)

，
∴切线斜率k=h′(2)=

f′(2)g(2)-[f(2)+5]g′(2)

g2(2)

=

-3×1-[(-7)+5]×(- 1 2 )

1

=-4，
∴所求切线方程为y-（-2）=-4（x-2），即4x+y-6=0．
设直线l与曲线y=f（x）相切于点(x0，y 0)，
由（1）得，过该切点的切线斜率为k=x02-2x0-3=-4，
解得x₀=1，∴f(x0)=-

10

3

．
∵点(1，-

10

3

)不在直线l：4x+y-6=0上，
∴直线l与曲线y=f（x）不相切．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．同时考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了运算能力，属于中高档题．