Question

已知函数f（x）在R上为奇函数，当x≥0时，f（x）=x²+4x．
（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调区间（不用证明）；
（2）若f（a²-2）+f（a）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设 x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
又∵f（x）在R上为奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-4x）=-x²+4x
∴f（x）= 单调递增区间是（-∞，+∞）
（2）原不等式等价于：f（a²-2）＜-f（a）
∵f（x）在R上为奇函数
∴上式等价于：f（a²-2）＜f（-a） ①
又∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
①等价于：a²-2＜-a，即a²+a-2＜0，解得：-2＜a＜1
故答案为：（-2，1）
分析：（1）先设 x＜0，则-x＞0这样可以就可以利用x≥0时的解析式，再根据奇偶性就可求出f（x）的解析式，再写出单调区间．
（2）要把不等式进行等价转化，先移项，再根据奇函数转化，再根据单调性去掉函数符号，然后解关于a的不等式就可求出范围．
点评：本题第1问主要考查利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式，第2问主要用函数的奇偶性和单调性对原不等式进行等价转化．