Question

在(

x

-

1

2

3	x

)  m的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求：
（1）n的值；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？该项是什么？
（3）系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）根据题意，其展开式中只有第6项的二项式系数最大，由二项式系数的性质，分析可得n是偶数，且第6项为中间项，即

n

2

+1=6，解可得答案；
（2）设第k+1项系数的绝对值最大，则第k+1项的系数绝对值比第k项与第k+2项的系数绝对值都大，据此可以构造不等式组，解可得

8

3

≤k≤

11

3

，由k的取值范围，可得答案；
（3）由（2）的结论，分析可得，第4项的系数为负，系数最大的项为第3项或第5项中的一项，计算T₃、T₅，比较可得答案．

解答：解：（1）根据题意，展开式中只有第6项的二项式系数最大，
则n是偶数，且第6项为中间项，即

n

2

+1=6，
解可得n=10；
（2）设第k+1项系数的绝对值最大，
则有

C k 10 2-k≥ C k+1 10 2-k-1 C k 10 2-k≥ C k-1 10 2-k+1

，即

k+1 10-k ≥ 1 2 11-k k ≥2

解可得

8

3

≤k≤

11

3

，
又由k∈N^*，则k=3，
系数绝对值对大的项是第4项，T₄=-C₁₀³2^-3x

9

2

=-15x

9

2

；
（3）第4项的系数为负，系数最大的项为第3项或第5项中的一项，
又由T₃=

45

4

x

14

3

，T₅=

105

8

x

13

3

，
比较可得，系数最大的是第5项，则系数最大项为T₅=

105

8

x

13

3

．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题时要分清二项式系数与该项的系数，掌握系数比较的方法．