Question

离心率为

4

5

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上有一点M到椭圆两焦点的距离和为10．以椭圆C的右焦点F（c，0）为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT（T为切点），且点P满足|PT|=|PB|（B为椭圆C的上顶点）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求点P所在的直线方程l．

Answer 1

分析：（I）根据点M到椭圆两焦点的距离和可求得a，再根据离心率的值求得c，最后根据b=

a2-c2

求得b，答案可得．
（II）设点P（x，y），由（I）中的椭圆方程可求得焦点F，进而可得以圆F的方程．根据点P所在的直线是圆F和圆O的根轴，进而可得x和y的关系，即点P所在的直线方程．

解答：解：（I）依题意有：

a2+b2=c2     4 5 = c a       2a=10

解得：

a=5     b=3     c=4

所以椭圆方程为：

x2

25

+

y2

9

=1．
（II）设点P（x，y）．由（I）得F（4，0），
所以圆F的方程为：（x-4）²+y²=9．
把B（0，3）点当作圆B：x²+（y-3）²=0，
点P所在的直线是圆B和圆O的根轴，
所以（x-4）²+y²-[x²+（y-3）²]=9，即4x-3y-1=0．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆与圆的综合运用．考查了学生综合分析和解决问题的能力．
1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； 3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行．