Question

（2005•金山区一模）过定点A（-1，1）是否存在直线l，使得点A恰为直线l与椭圆x²+3y²=9相交所得的线段的中点，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：先设出过A点的直线交椭圆于B、C两点的坐标，代入椭圆方程作差得：（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0；再结合A点是线段BC的中点即可求出直线的斜率；进而得到直线方程．

解答：解：设过A点的直线交椭圆于B、C两点，B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）
则有x₁²+3y₁²=9，x₂²+3y₂²=9，（3分）
两式相减得：（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0（6分）
因为A点是线段BC的中点，所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2 （8分）
代入得：k_BC=

y1-y2

x1-x2

=

1

3

（10分）
所以l的方程为y=

1

3

（x+1）+1（11分）
检验知：x-3 y+4=0为所求的方程．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．解决本题的关键在于设出B、C两点的坐标，代入椭圆方程作差得：（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0；再结合A点是线段BC的中点即可求出直线的斜率．这也是解决此类问题的常用方法．